Интегральный признак сходимости

Пусть $f(x)$ интегрируема на $[a,b^{'}],~\forall{b^{'} > a}~~$ $f(x) \geq 0,~f(x)~-$ убывает $a_{n} = f(n),~~~n \in \mathbb{N}$ $$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \iff \int\limits_{1}^{+ \infty} f(x) dx~-~сходится $$

$\forall{x \in [n,n+1]}~~a_{n+1} \leq f(x) \leq a_{n}$ $$a_{n+1} = \int\limits_{n}^{n+1} a_{n+1}\, dx \leq \int\limits_{n}^{n+1} f(x)\, dx \leq \int\limits_{n}^{n+1} a_{n}\, dx = a_{n}$$ $$S_{n+1} - a_{1} = \sum_{k=1}^{n} a_{k+ 1} \leq \int\limits_{1}^{n+1} f(x)\, dx \leq \sum_{k=1}^{n} a_{k} = S_{n}~(*) $$ $(*)~-$ суммируем по $k$ от $1$ до $n$ Если ряд $a_{n}$ - сх-ся, то $S_{n}$ - огр $\Rightarrow$ $\int\limits_{1}^{+ \infty} f(x) dx$ - ограничен $\Rightarrow$ $\int\limits_{1}^{+ \infty} f(x) dx$ - сх-ся. $\square$